Plano de 12 Semanas - Física & Mecânica Quântica

Exemplo:

f(x) = x^2,   g(x) = sen(x),   h(x) = e^x
• Identifique zeros, máximo/mínimo visualmente
• Relacione inclinação do gráfico com variação da função

Definição:
f'(x) = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx

Intuição:
• "Velocidade" da função naquele ponto

d/dx (x^3) = 3x^2
d/dx (sen x) = cos x
d/dx (e^x) = e^x
d/dx (ln x) = 1/x

∫ x dx = x^2 / 2 + C
∫ cos x dx = sen x + C
∫ e^x dx = e^x + C

∫[a→b] f(x) dx = área sob o gráfico de f entre a e b

Exemplo:
∫[0→1] x^2 dx = [x^3/3]_0^1 = 1/3

Monte 10 exercícios mistos e resolva passo a passo. Refazer sem colar depois.

v = (vx, vy, vz)
|v| = √(vx² + vy² + vz²)
Soma: u + v = (ux + vx, ...)

A = [[1, 2],
     [3, 4]]

Aᵀ = [[1, 3],
      [2, 4]]

A = [[a, b],
     [c, d]]

det(A) = ad - bc
Se det(A) ≠ 0, A⁻¹ existe.

Av = λv
• λ é autovalor
• v é autovetor associado

A = PDP⁻¹
• D: matriz diagonal (autovalores)
• Colunas de P: autovetores

A hermitiana: A† = A
• Autovalores reais
• Muito usada em MQ como observáveis

Resolva 5 sistemas lineares, 3 problemas de autovalores e revise a teoria.

z = a + bi
|z| = √(a² + b²)
Conjugado: z* = a - bi

z = r (cos θ + i sen θ)
z = r e^{iθ}
e^{iθ} = cos θ + i sen θ

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

y(x,t) = A sen(kx - ωt)
k = 2π/λ     ω = 2πf

Construtiva: fase em fase → máximo
Destrutiva: defasagem de π → mínimo

ψ(x,t) = A e^{i(kx - ωt)}
• Parte real/imag: seno e cosseno

Relacione frequência, período, λ e velocidade v = λf em 5 exemplos numéricos.

v = dx/dt
a = dv/dt

Movimento uniforme:
x(t) = x₀ + vt

F = m a
ΣF = m a

Exemplo: queda livre (sem resistência do ar)

W = ∫ F · dx
Ec = (1/2) m v²

Ep(gravitacional) = m g h
Etotal = Ec + Ep = constante (sem dissipação)

p = m v
Impulso: J = ∫ F dt = Δp

F = -kx
m d²x/dt² + kx = 0
Solução: x(t) = A cos(ωt + φ)

Resolva 3 problemas de mola e 3 de energia conservativa.

Compare padrões de interferência de ondas mecânicas e luz.

Discuta padrão de interferência com partículas individuais (elétrons/fótons).

|ψ(x)|² → densidade de probabilidade
∫ |ψ(x)|² dx = 1

Exemplo:
ψ(x) = A em [0, L]

∫[0→L] |A|² dx = 1 → A = 1/√L

Discutir por que só |ψ|² é observável, não ψ em si.

Superposição de ondas monocromáticas para representar uma partícula localizada.

Responder questões teóricas e croquis de padrões de interferência.

Operador: "regra" que age sobre funções
Ex: derivada é um operador: D[f] = df/dx

x̂ ψ(x) = x ψ(x)
p̂ ψ(x) = -i ħ dψ/dx

[A, B] = AB - BA
[x̂, p̂] = i ħ

Δx Δp ≥ ħ / 2

Autovalores reais ↔ resultados possíveis de medidas físicas.

<A> = ∫ ψ*(x) A ψ(x) dx

Calcule comutadores simples e discuta implicações físicas.

i ħ ∂ψ/∂t = Ĥ ψ
Ĥ: operador Hamiltoniano (energia total)

Ĥ = - (ħ² / 2m) (∂²/∂x²) + V(x)

ψ(x,t) = φ(x) T(t)
→ Equação independente do tempo para φ(x)

V(x) = 0 em (0,L), infinito fora

Soluções:
φₙ(x) = √(2/L) sen(nπx/L)
Eₙ = (n² π² ħ²)/(2mL²)

Entenda por que só certos valores de energia são permitidos.

Explique qualitativamente o decaimento exponencial fora da região do poço.

Calcule Eₙ e probabilidades para n = 1, 2, 3 em exemplos numéricos.

Compare energia e período do sistema massa-mola com diferentes amplitudes.

Monte a equação e discuta a forma geral das soluções.

Eₙ = ħω (n + 1/2),   n = 0,1,2,...

Entenda o papel de a e a† para gerar estados de energia.

Discuta por que não existe energia zero: energia de ponto zero.

Esboce ψ₀(x), ψ₁(x), ψ₂(x), focando em nós e simetria.

Relacione estados quânticos e comportamento clássico para grandes n.

Relacione a função de onda ψ(x) com o vetor abstrato |ψ⟩.

<φ|ψ> = ∫ φ*(x) ψ(x) dx

<ψ|ψ> = 1
<φₙ|φₘ> = 0,   se n ≠ m

Escreva |ψ⟩ como combinação linear de autovetores de um observável.

A|ψ> → novo vetor de estado
<φ|A|ψ> → número complexo (expectativa ou amplitude)

Probabilidade de medir autovalor aₙ: |⟨aₙ|ψ⟩|².

Trabalhe com sistemas finitos (2 ou 3 estados) para fixar o formalismo.

Discuta diferença entre spin e movimento orbital.

|↑z> = [1, 0]ᵀ
|↓z> = [0, 1]ᵀ

σx = [[0, 1],
      [1, 0]]

σy = [[0, -i],
      [i,  0]]

σz = [[1,  0],
      [0, -1]]

Explique por que só aparecem dois resultados discretos.

Analise o que acontece ao medir σx após σz, e vice-versa.

Calcule ⟨S_z⟩ para estados superpostos como α|↑⟩ + β|↓⟩.

Montar estados, calcular probabilidades e valores esperados para σx, σy, σz.

Entenda como escrever estados de dois spins: |↑⟩⊗|↓⟩, etc.

Diferencie estados que podem ser escritos como produto e os que não podem.

|Ψ⁻> = (1/√2)(|↑↓> - |↓↑>)

Discuta correlações instantâneas entre medidas em duas partículas.

Use ρ para descrever estados mistos e traço parcial.

Entenda como interação com o ambiente destrói coerência quântica.

Analise cenários simples com pares de spins correlacionados.

Interprete fisicamente por que há probabilidade de atravessar barreiras.

Compare coeficientes de reflexão e transmissão para diferentes energias.

Considere soluções tipo onda plana e pacotes de ondas para partículas livres.

Refaça cálculos de ⟨x⟩, ⟨p⟩, Δx e Δp para exemplos simples.

Liste semelhanças e diferenças entre esses dois sistemas centrais.

Monte um mapa mental ligando todos esses tópicos.

Resolva um conjunto de problemas cobrindo todo o curso e trace próximos passos (livros, cursos, temas avançados).